Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в противоположно направленный с ним луч.

   Решение

---

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
  а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
  б) Докажите, что можно взять  c = 4.
  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  c = 3.
  г) Постройте пример, показывающий, что при  c > 3  утверждение неверно.

   Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 222]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109675

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2ⁿ – 1)×(2ⁿ – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109714

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Раскраски ] [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116677

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

В клетках таблицы m×n расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах m и n, больших 100, такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73572

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Метод спуска ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
  а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
  б) Докажите, что можно взять  c = 4.
  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  c = 3.
  г) Постройте пример, показывающий, что при  c > 3  утверждение неверно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66555

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 222]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями