Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что произвольная последовательность Q_n, заданная условиями

может быть выражена через числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n (определение чисел Люка смотри в задаче 3.133).

   Решение

---

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна .

   Решение

---

Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989.

   Решение

---

Выпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем n и сделаем возможные сокращения. Например, для  n = 12  получится следующий ряд чисел:  ⁰/₁, ¹/₁₂, ¹/₆, ¹/₄, ¹/₃, ⁵/₁₂, ¹/₂, ⁷/₁₂, ²/₃, ³/₄, ⁵/₆, ¹¹/₁₂  Сколько получится дробей со знаменателем d, если d – некоторый делитель числа n?

   Решение

---

Из чисел x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a₁, a₂, ..., a₁₀. Доказать, что зная числа a₁, a₂, ..., a₁₀ (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67464

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Взвешивания ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Кусок сыра массой 1 кг разрезали на $n\geqslant 4$ кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109511

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65090

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65631

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 5,6,7

В магазине продают коробки конфет. Среди них есть не менее пяти коробок разной цены (никакие две из них не стоят одинаково). Какие бы две коробки ни купил Вася, Петя всегда сможет также купить две коробки, потратив столько же денег. Какое наименьшее количество коробок конфет должно быть в продаже?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78295

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Из чисел x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a₁, a₂, ..., a₁₀. Доказать, что зная числа a₁, a₂, ..., a₁₀ (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями