Каталог по темам

Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 326]

Задача 78631

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Прислать комментарий Решение

Задача 78676

Темы:	[	Композиции поворотов	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом $\alpha$ , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол $\beta$ . Дано, что $\beta$ < $\alpha$ < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Прислать комментарий Решение

Задача 66088

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём каждые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66122

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В Чикаго живут 36 гангстеров, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём нет двух банд с совпадающим составом. Оказалось, что гангстеры, состоящие в одной банде, не враждуют, но если гангстер не состоит в какой-то банде, то он враждует хотя бы с одним её участником. Какое наибольшее число банд могло быть в Чикаго?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109728

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

В некоторых клетках доски 2n×2n стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимаются все чёрные фишки, которые стоят в одной вертикали с какой-то белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали с какой-нибудь из оставшихся чёрных. Докажите, что либо чёрных, либо белых фишек на доске осталось не более n².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 326]