Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]

Задача 105192

Темы:	[	Двоичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2.

в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.

Прислать комментарий Решение

Задача 78683

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано натуральное число N. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом N₁ проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из N можно получить однозначное число.

Прислать комментарий Решение

Задача 109965

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Разборов А.

На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.

Прислать комментарий Решение

Задача 73685

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Алексеев В.Б.

P и Q – подмножества множества выражений вида (a₁, a₂, ..., a_n), где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента (p₁, ..., p_n) множества P и каждого элемента (q₁, ..., q_n) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что p_m = q_m. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116695

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Принцип Дирихле	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Райгородский А. М.

Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, ..., 2^k}, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]