Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Докажите, что если p — простое число и  2 ≤ k ≤ p – 2,  то    делится на p.

б) Верно ли обратное утверждение?

   Решение

---

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

   Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98107

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107814

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73658

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78796

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116706

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5- Классы: 11

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями