Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

   Решение

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам x и y вычислить  xy + x + y + 1  и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена  1 + x + x² + ... + x¹⁹⁸².  Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов  f₁(x), ..., f_n(x),  что  f₁(x) = x  и для любого  i = 2, ..., n   f_i(x) – константа или
f_i(x) = f_j(x)·f_k(x) + f_k(x) + f_j(x) + 1,  где  j < i,  k < i,  причём  f_n(x) = 1 + x + ... + x¹⁹⁸².
  а) Помогите Пете написать "программу".
  б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию  xy + x + y?

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 417]      

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Прислать комментарий

Решение

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам x и y вычислить  xy + x + y + 1  и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена  1 + x + x² + ... + x¹⁹⁸².  Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов  f₁(x), ..., f_n(x),  что  f₁(x) = x  и для любого  i = 2, ..., n   f_i(x) – константа или
f_i(x) = f_j(x)·f_k(x) + f_k(x) + f_j(x) + 1,  где  j < i,  k < i,  причём  f_n(x) = 1 + x + ... + x¹⁹⁸².
  а) Помогите Пете написать "программу".
  б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию  xy + x + y?

Прислать комментарий

Решение

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий

Решение

Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)

Прислать комментарий

Решение

Дан ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число n>2 равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 417]