Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел
| a1... |
an |
... |
| b1... |
bn |
... |
| c1... |
cn |
... |
найдутся такие номера
p и
q, что
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать,
что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось
бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке
убывания роста).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа a1, a2, ..., an–1) пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы a1k1 + a2k2 + ... + an–1kn–1, где ki – целые неотрицательные числа (на a1 никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 81]
Фильтр
