ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Производная >> Возрастание и убывание. Исследование функций
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и B2. Точки C1 и C2 определяют числа $ \gamma_{1}^{}$ и $ \gamma_{2}^{}$, для которых (1 + $ \gamma_{1}^{}$)$ \overrightarrow{AC_1}$ = $ \overrightarrow{AB}$ и (1 + $ \gamma_{2}^{}$)$ \overrightarrow{C_2B}$ = $ \overrightarrow{AB}$; числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, $ \beta_{1}^{}$, $ \beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.


Замечание. При $ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{2}^{}$ = 0 точки A2, B2, C2 совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{1}^{}$$ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{1}^{}$$ \gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. (Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно тому, что $ {\frac{1}{\alpha_1}}$ + $ {\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Вниз   Решение

Найдите минимум по всем α, β максимума функции

y(x) = |cos x + α cos 2x + β cos 3x|.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

  с решениями  

Задача 107768

Темы:   [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Васильев Н.Б.

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x4, опускают вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в области y$ \ge$x4 и содержащего начало координат?)
Прислать комментарий     Решение

Задача 79504

Тема:   [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Найдите минимум по всем α, β максимума функции

y(x) = |cos x + α cos 2x + β cos 3x|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61213

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а) f1(x) = a cos x + b sin x;
б) f2(x) = a cos2x + b cos x sin x + c sin2x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79600

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Авторы: Галочкин А.И., Конягин С.В.

Между какими двумя девятками в записи $$\underbrace{199\dots 991}_{1991 \text{ девятка}}$$ нужно поставить знак:

а) «+», чтобы полученная сумма была наименьшей;

б) «×», чтобы полученное произведение было наибольшим?
Прислать комментарий     Решение

Задача 64894

Темы:   [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Решите систему уравнений:   .

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам