Каталог по темам

Выбрано 8 задач

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Существуют ли такие натуральные числа a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀, что НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

Решение

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .

Решение

В пяти корзинах А, Б, В, Г и Д лежат яблоки пяти разных сортов. В каждой из корзин А и Б находятся яблоки 3 и 4 сорта, в корзине В — 2 и 3, в корзине Г — 4 и 5, в корзине Д — 1 и 5. Занумеруйте корзины так, чтобы в первой корзине имелись яблоки 1-го сорта (как минимум одно), во второй корзине — яблоки 2-го сорта и т.д.

Решение

Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?

Решение

Когда Кай справился с этим заданием, Королева дала ему другую ледяную пластинку (см. рисунок). Как разрезать ее на две равные части?

Решение

На плоскости дано n фигур. Пусть S_{i₁...i_k} – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_{i₁...i_k}. Докажите, что:
а) S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
б) S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m чётном и
S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m нечётном.

Решение

Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Решение

Задача 87498

Задача 87503

Задача 87513

Задача 109220

Задача 109221