При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения  x² – (m + 1)x + m – 1 = 0  является наименьшей?

   Решение

Куб ABCDA1B1C1D1 рассечен на две части плоскостью, проходящей через вершину B , середину ребра B1C1 и точку M , лежащую на ребре AA1 так, что AM = 2A1M . Найдите отношение объёма части, содержащей точку B1 , к объёму всего куба.

   Решение

Имеется прямоугольная доска m×n, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток
  а) меньше  ^mn/₄;
  б) меньше  ^mn/₅.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 121]      

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

Прислать комментарий

Решение

Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
  а) квадрате 5×5;
  б) прямоугольнике m×n клеток?

Прислать комментарий

Решение

Данным четырёхугольником неправильной формы настлать паркет, т.е. покрыть всю плоскость четырёхугольниками, равными данному, без промежутков и перекрытий.

Прислать комментарий

Решение

Дан пятиугольник ABCDE. AB = BC = CD = DE, B = D = 90^o. Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.

Прислать комментарий

Решение

Имеется прямоугольная доска m×n, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток
  а) меньше  ^mn/₄;
  б) меньше  ^mn/₅.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 121]