Страница:
<< 254 255 256 257
258 259 260 >> [Всего задач: 1308]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого (переходить с дороги на дорогу разрешается только в городах). Если при этом можно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город, государство называется сложным, иначе – простым. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя указывает на каждой дороге направление, в котором по ней можно двигаться, и помещает в один из городов туриста. Далее за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а Вася в ответ меняет направление одной из дорог, входящей или выходящей из города, куда попал турист. Вася победит, если в какой-то момент Петя не сможет сделать ход. Докажите, что
а) в простом государстве Петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл Вася;
б) в сложном государстве Вася может гарантировать себе победу, как бы ни играл Петя.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня
может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу,
и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день
соревнований не изменяется.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли,
что
m(A) < m(B) < m(C) (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?
Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дано натуральное число N. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти
карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в
произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом
N1 проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из N можно получить однозначное число.
Страница:
<< 254 255 256 257
258 259 260 >> [Всего задач: 1308]
Фильтр
Решение 
