Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 87]

Задача 78487

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98399

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109718

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что
m(A) < m(B) < m(C) (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98160

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78628

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 87]