Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 61]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть P(x) = anxn + ... + a1x + a0 – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел |3n+1 – P(n + 1)|, ..., |31 – P(1)|, |1 – P(0)| не меньше 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между
его концами четное число вершин, и в синий – в противном
случае (в частности, все стороны 100-угольника красные).
В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых
равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)
б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа a1, a2, ..., a10, что уравнение
(x – a1)(x – a2)...(x – a10) = (x + a1)(x + a2)...(x + a10) будет иметь ровно пять различных действительных корней.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 61]
Фильтр
