Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 604]      

Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди?

Прислать комментарий

Решение

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнаёт у Пети сумму цифр числа  |x – a|.  Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x?

Прислать комментарий

Решение

Определим последовательности чисел (x_n) и (d_n) условиями  x₁ = 1,  x_n+1 = [  ],  d_n = x_2n+1 – 2x_2n–1  (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде  (d₁,d₂d₃...)₂.

Прислать комментарий

Решение

Дан ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Найдётся ли среди первых  10⁸ + 1  членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

Прислать комментарий

Решение

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 604]