Каталог по темам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 171]

Задача 110131

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Правило произведения	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Хромин Ю.

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73754

Темы:	[	Параллелепипеды (прочее)	]
	[	Остовы многогранных фигур	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Cерединный перпендикуляр и ГМТ	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Васильев Н.Б.

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64593

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Буфетов А.И.

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65245

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Антропов А.

Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что a_n = a и a_i+1 = a_i – S(a_i) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 171]