Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 60]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Про приведённый многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2 многочлен 
имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?
|
[Правило знаков Декарта]
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Изначально на доске были написаны одночленs 1, x, x², ..., xn. Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены S1 = 1 + x, S2 = 1 + x + x², S3 = 1 + x + x² + x3, ..., Sn = 1 + x + x² + ... + xn. Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$,
удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение
\begin{align*}
&a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\
\ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0
\end{align*}
имеет хотя бы один действительный корень.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9,10,11
|
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 60]
Фильтр
