Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 140]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Прямоугольник m×n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида
a и количеством уголков вида
b делится на 3.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоугольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечётного числа клеток, и никакие два прямоугольника не содержат общих клеток. Докажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной,
стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает
извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит
параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90°
(в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите,
что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 140]
Фильтр
