Версия для печати
Убрать все задачи

---

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30806

Темы:   [ Обход графов ] [ Деревья ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31095

Темы:   [ Степень вершины ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ] [ Деревья ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8

а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31292

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8

Решить в целых числах уравнение  x² + y² + z² = 2xyz.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65762

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В стране есть  n > 1  городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66032

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^d?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями