Страница:
<< 107 108 109 110
111 112 113 >> [Всего задач: 632]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
а) квадрате 5×5;
б) прямоугольнике m×n клеток?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10200. Доказать, что X делится на 50.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины
и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются
только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить
все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном
порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая
симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно
центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)
Страница:
<< 107 108 109 110
111 112 113 >> [Всего задач: 632]
Фильтр
