Каталог по темам

Задачи

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 704]

Задача 73737

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d рационально. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77888

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9

Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.

Прислать комментарий Решение

Задача 78053

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Прислать комментарий Решение

Задача 78272

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий Решение

Задача 78506

Тема:

[

Рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

a₁ = a₂ = 1; a_n = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (n $\displaystyle \ge$ 3).

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 704]