Каталог по темам

Задачи

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 704]

Задача 73683

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73702

Темы:	[	Теорема Эйлера	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77934

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78037

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78087

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 704]