Страница:
<< 108 109 110 111
112 113 114 >> [Всего задач: 704]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть
uk =
.
Докажите, что числа
uk можно представить в виде многочлена от cos
x.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?
б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?
в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.
Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
Страница:
<< 108 109 110 111
112 113 114 >> [Всего задач: 704]
Фильтр
