ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 233]      



Задача 61316

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что для чисел {xn} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  xn+1 = [1;].
Оцените разность  |xn|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64532

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Франк М.

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73574

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Метод спуска ]
[ Итерации ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству   x² – mxy + y² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности  (2):  a0 = 0,  a1 = 1,  a2 = ma3 = m² – 1,  a4 = m³ – 2ma5 = m4 – 3m² + 1,  ...,  в которой  ak+1 = mak – ak–1  для любого  k 0.  Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73699

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111688

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  an = an–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  an = an–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности
  а) число 1 встречается бесконечно много раз;
  б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 233]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .