Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66997

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность  $a'_n = a_{n+1} - a_n$  (где  $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...).  Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78269

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

найдутся такие номера p и q, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79475

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Частичные, верхние и нижние пределы ]

Сложность: 4- Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98181

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a₁, a₂, ..., a_n–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a₁k₁ + a₂k₂ + ... + a_n–1k_n–1,  где k_i – целые неотрицательные числа (на a₁ никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98589

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями