ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 80]      



Задача 109641

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110209

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Доказательство от противного ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a1x + b1,  ...,  x² – anx + bn,  причём все 2n чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111865

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60957

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения  x² – (m + 1)x + m – 1 = 0  является наименьшей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64546

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3

Корни квадратного трёхчлена  f(x) = x² + bx + c  равны m1 и m2, а корни квадратного трёхчлена  g(x) = x² + px + q  равны k1 и k2.
Докажите, что  f(k1) + f(k2) + g(m1) + g(m2) ≥ 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 80]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .