Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.
Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]
Задача 109511 |
|
|
Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.
|
|
Решение |
Задача 65090 |
|
|
Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
|
|
|
Решение |
Задача 65631 |
|
|
В магазине продают коробки конфет. Среди них есть не менее пяти коробок разной цены (никакие две из них не стоят одинаково). Какие бы две коробки ни купил Вася, Петя всегда сможет также купить две коробки, потратив столько же денег. Какое наименьшее количество коробок конфет должно быть в продаже?
|
|
|
Решение |
Задача 78295 |
|
|
Из чисел x1, x2, x3, x4, x5 можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a1, a2, ..., a10. Доказать, что зная числа a1, a2, ..., a10 (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x1, x2, x3, x4, x5.
|
|
|
Решение |
Задача 109935 |
|
|
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]
