Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 [Всего задач: 3]

Задача 76460

Темы:	[	Пересекающиеся сферы	]
	[	Окружности на сфере	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Решение

Пусть a_n — наибольшее число частей, на которые разбивают сферу n окружностей, b_n — наибольшее число частей, на которые разбивают пространство n сфер. Ясно, что a₁ = 2 и b₁ = 2. Покажем, что a_n = a_{n - 1} + 2(n - 1) и b_n = b_{n - 1} + a_{n - 1}. Прежде всего заметим, что число частей будет наибольшим в том случае, когда никакие три окружности не пересекаются в одной точке и, соответственно, никакие четыре сферы не пересекаются в одной точке и никакие три сферы не имеют общей окружности. Действительно, иначе число частей всегда можно увеличить, слегка пошевелив окружности (сферы). Пусть на сфере дано n окружностей, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Фиксируем одну из них. Оставшиеся окружности разбивают сферу не более чем на a_{n - 1} частей, причём возможна конфигурация, когда они разбивают сферу на a_{n - 1} частей. Фиксированная окружность пересекает остальные окружности не более чем в 2n - 2 точках, причём случай, когда число точек пересечения равно 2n - 2, возможен. Точки пересечения разбивают фиксированную окружность на 2n - 2 частей; каждая их этих частей окружности добавляет одну новую часть разбиения сферы. Поэтому a_n = a_{n - 1} + 2(n - 1). Равенство b_n = b_{n - 1} + a_{n - 1} доказывается аналогично. Таким образом, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 14 и b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 16, b₅ = 30.

Ответ

На 30 частей.

Прислать комментарий

Задача 109737

Темы:	[	Касательные к сферам	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Пересекающиеся сферы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A , B и C и вторично пересекает ребра SA , SB и SC в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A1 , B1 и C1 , пересекаются в точке O . Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA1B1C1 .

Решение

Рис. 1
Пусть σ – сфера из условия задачи, σ1 – сфера, описанная около тетраэдра SA1B1C1 . Эти сферы пересекаются по окружности γ , описанной около треугольника A1B1C1 (см. рис. 1) .
Выберем на γ произвольно точку K1 , пусть K – вторая точка пересечения луча SK1 со сферой σ . Рассмотрим сечение сфер σ и σ1 плоскостью α=SAK .
Пусть l – касательная к сечению сферы σ1 плоскостью α , проведенная в точке S (см. рис. 2) . Тогда 1= 2 и 2=π- A1K1K= 3 , следовательно 1= 3 и, значит, AK|| l . Поэтому если β – плоскость, касающаяся σ1 в точке S , то AK||β . Поэтому лучи, проведенные из точки S и пересекающие окружность γ , вторично пересекают сферу σ в точках, лежащих в одной плоскости τ . Точки A , B и C лежат в этой плоскости, следовательно τ проходит через точку O1 – центр сферы σ .

Рис. 2 Рис. 3
Теперь рассмотрим множество плоскостей, касающихся σ в точках, принадлежащих γ . Они касаются некоторого конуса с вершиной в точке O (и образующими OA1 , OB1 , OC1 ). Проведем плоскость через точки O , O1 и S . В сечении получатся две пересекающиеся окружности (см. рис. 3) , при этом
SP1P= SQ1Q=90^o,
так как O1 PQ . Но OP1 и OQ1 – касательные к окружности с центром O1 , поэтому
SPP1= SQQ1= OQ1P1= OP1Q,
т.е. Δ Q1OP1 – равнобедренный и Q1OP1=180^o-2· OQ1P1= 2(90^o- SPP1)= 2· Q1SP1 . Отсюда и из равенства OP1=OQ1 следует, что O – центр окружности, описанной около Δ SP1Q1 . Но тогда OS=OP1=OA1=OB1=OC1 , т.е. O – центр сферы σ1 .

Прислать комментарий

Страница: << 1 [Всего задач: 3]