Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]

Задача 73670

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Маресин В.

Для каждого натурального n > 1 существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + ^π/_n, синуса числа
x + ^2π/_n, ..., наконец, синуса числа x + ^{(n – 1)π}/_n равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61202

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Упростите выражения:
а) sin ${\dfrac{\pi}{2n+1}}$ sin ${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$ sin ${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$ ...sin ${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$ ;
б) sin ${\dfrac{\pi}{2n}}$ sin ${\dfrac{2\pi}{2n}}$ sin ${\dfrac{3\pi}{2n}}$ ...sin ${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$ ;
в) cos ${\dfrac{\pi}{2n+1}}$ cos ${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$ cos ${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$ ...cos ${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$ ;
г) cos ${\dfrac{\pi}{2n}}$ cos ${\dfrac{2\pi}{2n}}$ cos ${\dfrac{3\pi}{2n}}$ ...cos ${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 73635

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 73744

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg ⁴/₃; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg ⁴/₃, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61249

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:
а) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$ ;
б) $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$ + $\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$ = $\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]