ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 61103

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены Чебышева ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если  p/q  рационально и  cos (p/q)° ≠ 0, ±½, ±1,  то
cos (p/q)°  – число иррациональное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61105

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что  sin α = 3/5.  Докажите, что  sin 25α  имеет вид  n/525,  где n – целое, не делящееся на 5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61104

Тема:   [ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что

cosnx = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$akcos kx,    sinnx = sin x$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}$bksin kx,

где a0,..., an, b0,..., bn - 1 —рациональные числа. Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinnx при четном n в виде sinnx = $ \sum\limits_{k=0}^{n}$ckcos kx, а при нечетном — в виде sinnx = $ \sum\limits_{k=0}^{n}$dksin kx.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61250

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть

uk = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot
x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin
kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$.

Докажите, что числа uk можно представить в виде многочлена от cos x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 86112

Темы:   [ Общие четырехугольники ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 9,10

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .