Страница:
<< 28 29 30 31
32 33 34 >> [Всего задач: 389]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В математическом кружке 45 школьников, некоторые дружат. Как ни разбивай их на тройки, в какой-то тройке все будут друг с другом дружить. Докажите, что всех школьников можно разбить на тройки так, чтобы в каждой тройке хотя бы какие-то двое дружили друг с другом.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В Камелот съехались $100$ рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Моргана может сколько угодно раз. Докажите, что она сможет добиться того, чтобы в итоге образовались такие две группы по $5$ рыцарей, что каждый рыцарь из первой пятёрки будет враждовать с каждым рыцарем из второй.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Назовём ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали,
горизонтальными, а остальные —
вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски $46\times46$, после чего чередовать им горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими.
а) Докажите, что если отменить любые n – 1 рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками).
б) Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги.
Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка,
стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к
дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в
которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
Страница:
<< 28 29 30 31
32 33 34 >> [Всего задач: 389]
Фильтр
