Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60599

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Числа Фибоначчи ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66178

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77882

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78170

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Доказать, что число 2²¹⁹⁵⁹ – 1 делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78251

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дана последовательность чисел F₁, F₂, ...;  F₁ = F₂ = 1  и   F_n+2 = F_n + F_n+1.  Доказать, что F_5k делится на 5 при  k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями