Фильтр
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]
На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
Таблица $2\times 2024$ заполнена целыми числами, причём в первой строке стоят числа из набора $\{1, \dots, 2023\}$. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой?
Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]
Задача 67192 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67416 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67318 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67314 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]
