ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 60504

Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких целых $n$ число
  а) $\frac{n^4+3}{n^2+n+1}$;   б) $\frac{n^3+n+1}{n^2-n+1}$   также будет целым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60517

Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что число шагов в алгоритме Евклида может быть сколь угодно большим.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60590

Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60507

Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при  m ≠ n  выполняются равенства:
  а)  (am – 1, an – 1) = a(m, n) – 1  (a > 1);
  б)  (fn, fm) = 1,  где  fk = 22k + 1  – числа Ферма.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60592

 [Теорема Ламе]
Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть число m1 в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m0 число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m0 и m1 удовлетворяет неравенству  k ≤ 5n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .