Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 399]

Задача 78787

Темы:	[	Целочисленные решетки	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

Прислать комментарий Решение

Задача 79571

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Докажите, что из 53 различных натуральных чисел, не превосходящих в сумме 1990, всегда можно выбрать 2 числа, составляющих в сумме 53.

Прислать комментарий Решение

Задача 30801

Темы:	[	Планарные графы. Формула Эйлера	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?

Прислать комментарий

Решение

Задача 58164

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8

Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64352

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Митрофанов И.В.

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2πk/_n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 399]