Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 418]

Задача 107841

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Производная в точке	]
	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На доске написаны три функции: f₁(x) = x + ¹/_x, f₂(x) = x², f₃(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f₁, f₂, f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61336

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$ ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 56876

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 56975

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Прислать комментарий Решение

Задача 98024

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Автор: Гальперин Г.А.

Решить в натуральных числах уравнение:

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 418]