Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 215]

Задача 76421

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен ${\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Решение

Пусть a, a + d, a + 2d — стороны треугольника, h — высота, опущенная на сторону a + d. Площадь треугольника, с одной стороны, равна ${\frac{(a+d)h}{2}}$ , а с другой стороны, она равна произведению половины периметра на радиус вписанного круга: ${\frac{a+(a+d)+(a+2d)}{2}}$ r. Приравнивая эти выражения, получаем ${\frac{(a+d)h}{2}}$ = ${\frac{3(a+d)r}{2}}$ , т.е. r = ${\frac{1}{3}}$ h.

Прислать комментарий

Задача 52620

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Два угла треугольника равны 50^o и 100^o. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

Подсказка

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис треугольника.

Решение

Если в треугольнике ABC $\angle$ BAC = 100^o, а $\angle$ ABC = 50^o, то $\angle$ ACB = 30^o. Поскольку центр O вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, то

$\displaystyle \angle$ AOB = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - 75^o = 105^o.

Остальные углы находятся аналогично.

Ответ

105^o, 115^o, 140^o.

Прислать комментарий

Задача 52623

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, а отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны между собой, то основание содержит 10 частей, а боковая сторона — 12.

Ответ

6:5.

Прислать комментарий

Задача 52626

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Сумма отрезков, соединяющих вершины острых углов с точками касания вписанной окружности с катетами, равна гипотенузе. Прибавив к этой сумме два радиуса круга, получим сумму катетов.

Ответ

60.

Прислать комментарий

Задача 52900

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Найдите радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.

Решение

Пусть R – радиус описанной окружности треугольника.

Первый способ. Пусть α – угол при основании треугольника. Тогда cos α = ³/₅, sin α = ⁴/₅. Следовательно, R = ⁵/_{2sin α} = ²⁵/₈.

Второй способ. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, AB = BC = 5, AC = 3, M – середина AC. Тогда BM = 4. По теореме Пифагора
R² – 9 = (4 – R)², откуда R = ²⁵/₈.

Ответ

²⁵/₈.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 215]