Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 128]

Задача 78560

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Решение

Пусть отрезок BC постоянной длины скользит по сторонам угла с вершиной A. Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Её радиус R = ${\frac{BC}{2\sin A}}$ постоянен. Рассматриваемый отрезок перпендикуляра от его основания до точки пересечения с биссектрисой угла — это отрезок, соединяющий середину дуги BC с серединой хорды BC. Ясно, что он имеет постоянную длину.

Прислать комментарий

Задача 98615

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Гальперин Г.А.

Дан треугольник ABC. В нём R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – длина наибольшей стороны, h – длина наименьшей высоты. Докажите, что ^R/_r > ^a/_h.

Решение

Очевидно, 2R ≥ a (диаметр описанной окружности не меньше стороны) и 2r < h (диаметр вписанной окружности меньше высоты). Отсюда
^R/_r = ^2R/_2r ≥ ^a/_2r > ^a/_h.

Прислать комментарий

Задача 54490

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Формула Герона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Вершины треугольника соединены с центром вписанной окружности. Проведёнными отрезками площадь треугольника разделилась на три части, равные 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Примените формулу Герона.

Решение

Пусть a, b и c — искомые стороны треугольника, являющиеся основаниями треугольников с площадями 28, 60 и 80 соответственно, r — радиус вписанной окружности треугольника. Тогда

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ar = 28, $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br = 60, $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ cr = 80.

Из этих равенств выразим a, b и c через r:

a = $\displaystyle {\frac{56}{r}}$ , b = $\displaystyle {\frac{120}{r}}$ , c = $\displaystyle {\frac{160}{r}}$ .

По формуле Герона выразим через r площадь данного треугольника:

28 + 60 + 80 = $\displaystyle \sqrt{\frac{168}{r}\cdot \frac{112}{r}\cdot \frac{48}{r}\cdot \frac{8}{r}}$ .

Из полученного уравнения находим, что r = 4. Следовательно, a = 14, b = 30, c = 40.

Ответ

14, 30 и 40.

Прислать комментарий

Задача 55323

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, AC соответственно в точках M, D, N. Найдите MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, $\angle$ BCA = 60^o.

Подсказка

Обозначьте BM = BD = x и примените теорему косинусов к треугольнику ABC.

Решение

Обозначим BM = BD = x. Тогда

AB = BM + AM = BM + AN = x + 2 BC = BD + CD = BD + CN = x + 3.

По теореме косинусов

AB² = AC² + BC² - 2AC^.BC cos $\displaystyle \angle$ C, или (x + 2)² = 25 + (x + 3)² - 5(x + 3).

Из этого уравнения находим, что x = 5. Тогда AB = 7, BC = 8.

Еще раз применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, находим, что

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{7^{2} + 8^{2} - 5^{2}}{2\cdot 7\cdot 8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{14}}$ .

Искомый отрезок MD находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника MBD:

MD = $\displaystyle \sqrt{BM^{2}+ BD^{2}- 2BM\cdot BD \cos \angle B}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ .

Ответ

${\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ .

Прислать комментарий

Задача 55324

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник KLM вписана окружность, которая касается стороны KM в точке A. Найдите AL, если известно, что AK = 10, AM = 4, а угол KLM равен 60^o.

Ответ

2 $\sqrt{\frac{183}{7}}$ .

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 128]