Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дана последовательность чисел F1, F2, ...; F1 = F2 = 1 и
Fn+2 = Fn + Fn+1. Доказать, что F5k делится на 5 при k = 1, 2, ... .
a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что ak + bl делится на p.
По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f0(x) = 1,
f1(x) = x,
...
fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и
1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При
этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с
помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх
гранями одного и того же цвета?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Рассматривается числовой треугольник:
(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как
разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один
элемент. Найдите его.
Страница:
<< 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
