Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 326]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98200

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98473

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109727

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60578  [Формула Бине]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

где = — ``золотое сечение'' или число Фидия, а = (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60909

Темы:   [ Системы счисления (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что каждое целое число A представимо в виде

где каждое из чисел a_k = 0, 1 или -1 и a_ka_{k + 1} = 0 для всех 0 k n - 1, причем такое представление единственно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 326]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями