Каталог по темам

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 369]

Задача 65167

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Перед экстрасенсом кладут колоду из 36 карт рубашкой вверх. Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают, показывают ему и откладывают в сторону. После этого экстрасенс называют масть следующей карты и т. д. Задача экстрасенса – угадать масть как можно большее число раз. На деле рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Колода подготовлена подкупленным служащим. Служащий знает порядок карт в колоде, и хотя изменить его не может, зато может подсказать, располагая рубашки карт так или иначе согласно договоренности. Может ли экстрасенс с помощью такой подсказки гарантированно обеспечить угадывание масти
а) более чем у половины карт;
б) не менее чем у 20 карт?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66114

Темы:	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

Кузнечик умеет прыгать по полоске из n клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число n пропрыгиваемым, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно n > 50, которое не является пропрыгиваемым.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66839

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Гладков Н., Зимин А.

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 78496

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 369]