Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 223]
Имеется 4
n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных
можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел
найдется
n одинаковых.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дана последовательность
...,
a-n,...,
a-1,
a0,
a1,...,
an,...
бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен
суммы
двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть
бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про
которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить 3n + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.
В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за
поражение – 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он
равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 223]
Фильтр
