Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 776]      

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что  AB ^. CD = BC ^. AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

Прислать комментарий

Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Прислать комментарий

Решение

К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$ и прямая $\ell$, которая пересекает стороны $AB$, $AC$ и прямую $BC$ в точках $C_1$, $B_1$, $A_1$ соответственно. Окружность $\omega_a$ касается прямой $BC$ в точке $A_1$ и меньшей дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Аналогично определяются окружности $\omega_b$, $\omega_c$. Докажите, что у окружностей $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ есть общая касательная.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 776]