Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 241]      

Дан треугольник ABC и точка P. Точка Q такова, что CQ || AP, а точка R такова, что AR || BQ и  CR || BP. Докажите, что S_ABC = S_PQR.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.

Прислать комментарий

Решение

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 241]