Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 241]
а) Правильный n-угольник A1...An
вписан в окружность радиуса 1 с центром O; ei = 
, u –
произвольный вектор.
Докажите, что 
(u, ei)ei = ½ nu.
б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XC1,..., XCn на стороны правильного n-угольника (или на их продолжения).
Докажите, что 
где O – центр n-угольника.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На столе лежал проволочный треугольник с углами x°, y°, z°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами (x – 1)°, 181°, (y – 1)°, 181°, (z – 1)°, 181°. Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, ∠BDC = 120°. Вне треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, ∠AEC = 60° и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что ∠AFD = 90°, где F – середина отрезка BE.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Даны четыре прямые m1, m2, m3, m4, пересекающиеся в одной точке
O. Через произвольную точку A1 прямой m1 проводим прямую, параллельную
прямой m4, до пересечения с прямой m2 в точке A2, через A2 проводим
прямую, параллельную m1, до пересечения с m3 в точке A3, через A3
проводим прямую, параллельную m2, до пересечения с m4 в точке
A4 и через точку A4 проводим прямую, параллельную m3, до пересечения
с m1 в точке B.
Доказать, что
OB
(см. рис.).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника
действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 241]
Фильтр
