Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 241]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки А) она моментально появляется в новом (в точке A') так, что в середине отрезка АA' находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны
числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC .
На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и
AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно,
причём A1B1 
MC и A1C1 MB .
Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и
в треугольнике A1B1C1 .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди
соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных
направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех
нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен,
а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты
вершины M параллелограмма ABMC.
Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 241]
Фильтр
