Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 238]

Задача 57716

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 5
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть S_a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности S_b, S_c и S_d определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57718

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A₁A₂...A_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

| $\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ | $\displaystyle \le$ 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57719

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Пусть a₁, a₂, ..., a_{2n + 1} — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂±...±a_{2n + 1} знаки можно выбрать так, что |c| $\le$ 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57722

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Даны два набора векторов a₁,...,a_n и b₁,...,b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Прислать комментарий Решение

Задача 57723

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 238]