Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности
треугольника ABC, Z и r — центр и радиус
его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан
треугольника с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите,
что точка Z лежит на отрезке OK, причем
OZ : ZK = 3R : r.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых
равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может,
один вектор), длина суммы которых больше 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника
действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну
овцу?
Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа a1, a2, ..., an, что
a1 > a2 > ... > an > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов 
отлична от нулевого вектора.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
