Страница:
<< 147 148 149 150
151 152 153 >> [Всего задач: 1587]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что AM = MD. Докажите, что ∠PMB = ∠QMB.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что AB = CD, AD = BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.
Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме
квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма
чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные
симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в
каждом столбце меньше 1035.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не
существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы
отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
Страница:
<< 147 148 149 150
151 152 153 >> [Всего задач: 1587]
Фильтр
