Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
|
Даны натуральные числа
p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены
некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (
k+1)×
n (
n клеток
по горизонтали,
k+1
– по вертикали) отмечено ровно
p клеток. Докажите, что
существует прямоугольник
k×(
n+1) (где
n+1
клетка по горизонтали,
k – по
вертикали), в котором отмечено не менее
p+1
клетки.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k
разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
