ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



Задача 57757

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 так, что прямые CC1, AA1 и BB1 пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) $ {\frac{CO}{OC_1}}$ = $ {\frac{CA_1}{A_1B}}$ + $ {\frac{CB_1}{B_1A}}$;
б) $ {\frac{AO}{OA_1}}$ . $ {\frac{BO}{OB_1}}$ . $ {\frac{CO}{OC_1}}$ = $ {\frac{AO}{OA_1}}$ + $ {\frac{BO}{OB_1}}$ + $ {\frac{CO}{OC_1}}$ + 2$ \ge$8.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57758

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57759

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

В середины сторон треугольника ABC помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.
Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.12.1 совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57760

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5
Классы: 9

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78059

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник A0B0C0. На его сторонах A0B0, B0C0, C0A0 взяты точки C1, A1, B1 соответственно. На сторонах A1B1, B1C1, C1A1 треугольника A1B1C1 взяты соответственно точки C2, A2, B2, и вообще, на сторонах AnBn, BnCn, CnAn, треугольника AnBnCn взяты точки Cn + 1, An + 1, Bn + 1. Известно, что

$\displaystyle {\frac{A_0B_1}{B_1C_0}}$ = $\displaystyle {\frac{B_0C_1}{C_1A_0}}$ = $\displaystyle {\frac{C_0A_1}{A_1B_0}}$ = k,$\displaystyle {\frac{A_1B_2}{B_2C_1}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1C_2}{C_2A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1A_2}{A_2B_1}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k^2}}$
и вообще,

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A0A1, B0B1, C0C1, содержится в треугольнике AnBnCn при любом n.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .